graph TD
    A[Электрические цепи] --> B[Неразветвлённые]
    A --> C[Разветвлённые]
    B --> D[Состоят из одной ветви]
    C --> E[Состоят из нескольких ветвей и узлов]

Ветвь ( $в$ )

— участок электрической цепи, по элементам которого протекает один и тот же ток. В ветви протекает свой собственный ток, направление которого выбирается произвольно.

Узел ( $у$ )

— место соединения трёх и более ветвей. Обозначается цифрами либо латинскими буквами.

Контур

— замкнутый путь по ветвям электрической цепи. Контур характеризуется направлением обхода (по часовой стрелке или против), которое выбирается произвольно.

Независимый контур

— контур, содержащий хотя бы одну ветвь, не входящую в другие выбранные контуры. Для расчётов используются только независимые контуры.

Примеры топологических структур

1. Неразветвлённая цепь

Состоит из одного замкнутого контура ( $в = 1$ , узлов с числом ветвей $\geq 3$ нет: $у = 0$ ).

\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=0.9]
  % Провода
  \draw (0,1.85) -- (0,3) -- (1.5,3);
  \draw (2.5,3) -- (4,3) -- (4,2.0);
  \draw (4,1.0) -- (4,0) -- (2.5,0);
  \draw (1.5,0) -- (0,0) -- (0,1.15);
  
  % Источник ЭДС E (кружок со стрелкой внутри)
  \draw (0,1.5) circle [radius=0.35];
  \draw[->, thick] (0,1.25) -- (0,1.75);
  \node[left] at (-0.4,1.5) {$E$};
  
  % Резистор R1
  \draw (1.5,2.75) rectangle (2.5,3.25);
  \node[above] at (2,3.3) {$R_1$};
  
  % Резистор R2
  \draw (3.75,1.0) rectangle (4.25,2.0);
  \node[right] at (4.3,1.5) {$R_2$};
  
  % Резистор R3
  \draw (1.5,-0.25) rectangle (2.5,0.25);
  \node[below] at (2,-0.3) {$R_3$};
  
  % Ток I
  \draw[->, thick] (0.6,3.3) -- (1.1,3.3) node[above] {$I$};
\end{tikzpicture}
\end{document}

2. Разветвлённая цепь с двумя узлами (3 ветви: $у = 2$ , $в = 3$ )

\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=0.9]
  % Источник E в левой ветви
  \draw (0,0) -- (0,1.15);
  \draw (0,1.5) circle [radius=0.35];
  \draw[->, thick] (0,1.25) -- (0,1.75);
  \node[left] at (-0.4,1.5) {$E$};
  \draw (0,1.85) -- (0,3) -- (2,3);
  \draw (0,0) -- (2,0);
  
  % Общий ток I
  \draw[->, thick] (0.7,3.3) -- (1.3,3.3) node[above] {$I$};
  
  % Узлы 1 и 2
  \fill (2,3) circle (2pt) node[above] {1};
  \fill (2,0) circle (2pt) node[below] {2};
  \fill (4,3) circle (2pt);
  \fill (4,0) circle (2pt);
  \draw (2,3) -- (4,3);
  \draw (2,0) -- (4,0);
  
  % Ветвь с R1
  \draw (2,3) -- (2,2.0);
  \draw (1.75,1.0) rectangle (2.25,2.0);
  \node[left] at (1.7,1.5) {$R_1$};
  \draw (2,1.0) -- (2,0);
  \draw[->, thick] (2,2.6) -- (2,2.2) node[right] {$I_1$};
  
  % Ветвь с R2
  \draw (4,3) -- (4,2.0);
  \draw (3.75,1.0) rectangle (4.25,2.0);
  \node[right] at (4.3,1.5) {$R_2$};
  \draw (4,1.0) -- (4,0);
  \draw[->, thick] (4,2.6) -- (4,2.2) node[right] {$I_2$};
\end{tikzpicture}
\end{document}

3. Разветвлённая цепь с двумя узлами (4 ветви: $у = 2$ , $в = 4$ )

Понятие топологического узла

На принципиальных схемах соединительные провода считаются идеальными (их сопротивление $R = 0$ ). Поэтому все точки подключения на верхней шине имеют одинаковый потенциал ( $φ_{1}$ ) и топологически стягиваются в один Узел 1. Аналогично, все точки подключения на нижней шине имеют потенциал ( $φ_{2}$ ) и образуют один Узел 2.

\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=0.95]
  \draw (0,0) -- (0,1.15);
  \draw (0,1.5) circle [radius=0.35];
  \draw[->, thick] (0,1.25) -- (0,1.75);
  \node[left] at (-0.4,1.5) {$E$};
  \draw (0,1.85) -- (0,3) -- (2,3);
  \draw (0,0) -- (2,0);
  \draw[->, thick] (0.7,3.3) -- (1.3,3.3) node[above] {$I$};
  \draw[very thick, blue] (2,3) -- (5.6,3);
  \draw[very thick, blue] (2,0) -- (5.6,0);
  \fill[blue] (2,3) circle [radius=2pt] node[above] {$1'$};
  \fill[blue] (3.8,3) circle [radius=2pt] node[above] {$1''$};
  \fill[blue] (5.6,3) circle [radius=2pt] node[above] {$1'''$};
  \fill[blue] (2,0) circle [radius=2pt] node[below] {$2'$};
  \fill[blue] (3.8,0) circle [radius=2pt] node[below] {$2''$};
  \fill[blue] (5.6,0) circle [radius=2pt] node[below] {$2'''$};
  \draw[dashed, blue, rounded corners=4pt] (1.6,2.7) rectangle (6.8,3.6);
  \node[blue, right] at (6.8,3.15) {$\Rightarrow \mathbf{Node\ 1}~(\varphi_1)$};
  \draw[dashed, blue, rounded corners=4pt] (1.6,-0.6) rectangle (6.8,0.3);
  \node[blue, right] at (6.8,-0.15) {$\Rightarrow \mathbf{Node\ 2}~(\varphi_2)$};
  \draw (2,3) -- (2,2.0);
  \draw (1.75,1.0) rectangle (2.25,2.0);
  \node[left] at (1.7,1.5) {$R_1$};
  \draw (2,1.0) -- (2,0);
  \draw[->, thick] (2,2.5) -- (2,2.2) node[right] {$I_1$};
  \draw (3.8,3) -- (3.8,2.0);
  \draw (3.55,1.0) rectangle (4.05,2.0);
  \node[right] at (4.1,1.5) {$R_2$};
  \draw (3.8,1.0) -- (3.8,0);
  \draw[->, thick] (3.8,2.5) -- (3.8,2.2) node[right] {$I_2$};
  \draw (5.6,3) -- (5.6,2.0);
  \draw (5.35,1.0) rectangle (5.85,2.0);
  \node[right] at (5.9,1.5) {$R_3$};
  \draw (5.6,1.0) -- (5.6,0);
  \draw[->, thick] (5.6,2.5) -- (5.6,2.2) node[right] {$I_3$};
\end{tikzpicture}
\end{document}

Пример: Преобразование «треугольник – звезда» ( $Δ \to Y$ ) в сложной мостовой цепи

I. Изначальная схема

Расчёт мостовой схемы

Если в мостовой цепи резисторы не образуют простых последовательных или параллельных участков, цепь упрощают эквивалентным преобразованием:

В исходной схеме выделяется замкнутый контур из трёх резисторов — треугольник ( $Δ$ ).

Он заменяется трёхлучевой звездой ( $Y$ ) с введением одного дополнительного узла $A$ .

После этого схема сводится к элементарным смешанным (последовательно-параллельным) соединениям.

\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=1.05]
  % Координаты узлов
  \coordinate (N1) at (3.5, 5.5);
  \coordinate (N2) at (3.5, 2.8);
  \coordinate (N4) at (7.2, 2.8);
  \coordinate (N3) at (3.5, 0.0);
  \coordinate (NA) at (4.8, 3.8); % Доп. узел А внутри треугольника 1-2-4
 
  % Источник ЭДС E в левой ветви (между узлами 3 и 1)
  \draw (N3) -- (1.2, 0) -- (1.2, 2.4);
  \draw (1.2, 2.75) circle [radius=0.35];
  \draw[->, thick] (1.2, 2.5) -- (1.2, 3.0);
  \node[left=3pt] at (0.85, 2.75) {$E$};
  \draw (1.2, 3.1) -- (1.2, 5.5) -- (N1);
  \draw[->, thick] (1.8, 5.8) -- (2.6, 5.8) node[midway, above] {$I$};
 
  % --- Ветви исходного треугольника Δ (узлы 1, 2, 4) ---
  % Ветвь 1-2: R1
  \draw (N1) -- (3.5, 4.6);
  \draw[->, thick] (3.5, 5.2) -- (3.5, 4.7) node[midway, left=2pt] {$I_1$};
  \draw[fill=white] (3.25, 3.8) rectangle (3.75, 4.6);
  \node[left=3pt] at (3.25, 4.2) {$R_1$};
  \draw (3.5, 3.8) -- (N2);
 
  % Ветвь 1-4: R2
  \draw (N1) -- (7.2, 5.5) -- (7.2, 4.6);
  \draw[->, thick] (7.2, 5.2) -- (7.2, 4.7) node[midway, right=2pt] {$I_2$};
  \draw[fill=white] (6.95, 3.8) rectangle (7.45, 4.6);
  \node[right=3pt] at (7.45, 4.2) {$R_2$};
  \draw (7.2, 3.8) -- (N4);
 
  % Ветвь 2-4: R3 (перемычка моста)
  \draw (N2) -- (4.75, 2.8);
  \draw[fill=white] (4.75, 2.55) rectangle (5.75, 3.05);
  \node[above=3pt] at (5.25, 3.05) {$R_3$};
  \draw (5.75, 2.8) -- (N4);
  \draw[<-, thick] (4.8, 2.3) -- (5.7, 2.3) node[midway, below=1pt] {$I_3$};
 
  % --- Нижняя часть схемы ---
  % Ветвь 2-3: R4
  \draw (N2) -- (3.5, 2.0);
  \draw[->, thick] (3.5, 2.5) -- (3.5, 2.1) node[midway, left=2pt] {$I_4$};
  \draw[fill=white] (3.25, 1.0) rectangle (3.75, 1.8);
  \node[left=3pt] at (3.25, 1.4) {$R_4$};
  \draw (3.5, 1.0) -- (N3);
 
  % Ветвь 3-4: R5
  \draw (N3) -- (4.75, 0);
  \draw[fill=white] (4.75, -0.25) rectangle (5.75, 0.25);
  \node[below=3pt] at (5.25, -0.25) {$R_5$};
  \draw (5.75, 0) -- (7.2, 0) -- (N4);
  \draw[->, thick] (6.1, 0.35) -- (6.8, 0.35) node[midway, above=1pt] {$I_5$};
 
  % --- ЭКВИВАЛЕНТНАЯ ЗВЕЗДА Y (красная) ---
  \fill[red] (NA) circle (2pt) node[below=3pt, red] {$A$};
  
  % Луч A - 1
  \draw[red, thick, dashed] (N1) -- (4.3, 4.45);
  \draw[red, thick, fill=white, rotate around={-54:(4.15,4.65)}] (3.8,4.5) rectangle (4.5,4.8);
  \node[red, above right=2pt] at (4.2, 4.65) {$R_{12}$};
  \draw[red, thick, dashed] (4.0, 4.85) -- (NA);
 
  % Луч A - 2
  \draw[red, thick, dashed] (N2) -- (4.0, 3.2);
  \draw[red, thick, fill=white, rotate around={37:(4.15,3.3)}] (3.8,3.15) rectangle (4.5,3.45);
  \node[red, above left=1pt] at (4.1, 3.4) {$R_{13}$};
  \draw[red, thick, dashed] (4.3, 3.4) -- (NA);
 
  % Луч A - 4
  \draw[red, thick, dashed] (N4) -- (6.2, 3.2);
  \draw[red, thick, fill=white, rotate around={-23:(6.0,3.3)}] (5.65,3.15) rectangle (6.35,3.45);
  \node[red, above right=1pt] at (6.0, 3.4) {$R_{23}$};
  \draw[red, thick, dashed] (5.8, 3.4) -- (NA);
 
  % Узлы схемы (поверх проводников)
  \fill (N1) circle (2.5pt) node[above=2pt] {1};
  \fill (N2) circle (2.5pt) node[left=3pt] {2};
  \fill (N3) circle (2.5pt) node[below=2pt] {3};
  \fill (N4) circle (2.5pt) node[right=3pt] {4};
\end{tikzpicture}
\end{document}

Топологические параметры цепи:

Число узлов: $у = 4$ (узлы 1, 2, 3, 4).
Число ветвей: $в = 6$ (ветви с $E$ , $R_{1}$ , $R_{2}$ , $R_{3}$ , $R_{4}$ , $R_{5}$ ).

Эквивалентное преобразование «Треугольник $\leftrightarrow$ Звезда» ( $Δ \leftrightarrow Y$ )

Соединение треугольником ( $Δ$ ) и звездой ( $Y$ )

Соединение звездой ( $Y$ ): соединение, при котором начала (или концы) элементов присоединены к одному общему узлу, а другие выводы подключены к трём раздельным узлам цепи.

Соединение треугольником ( $Δ$ ): соединение, при котором конец первого элемента в узле соединён с началом второго, конец второго — с началом третьего, а конец третьего — с началом первого.

\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=0.95]
  \coordinate (T1) at (0,3);
  \coordinate (T2) at (3,3);
  \coordinate (T3) at (1.5,0.4);
  \fill (T1) circle [radius=2pt] node[above left] {1};
  \fill (T2) circle [radius=2pt] node[above right] {2};
  \fill (T3) circle [radius=2pt] node[below] {3};
  \draw (T1) -- (0.9,3);
  \draw (0.9,2.75) rectangle (2.1,3.25);
  \node[above] at (1.5,3.3) {$R_{12}$};
  \draw (2.1,3) -- (T2);
  \draw (T2) -- (2.5,2.13);
  \draw[rotate around={60:(2.25,1.7)}] (1.75,1.45) rectangle (2.75,1.95);
  \node[right] at (2.4,1.7) {$R_{23}$};
  \draw (2.0,1.27) -- (T3);
  \draw (T3) -- (1.0,1.27);
  \draw[rotate around={-60:(0.75,1.7)}] (0.25,1.45) rectangle (1.25,1.95);
  \node[left] at (0.6,1.7) {$R_{31}$};
  \draw (0.5,2.13) -- (T1);
  \node at (1.5,1.8) {$\Delta$};
  \draw[<->, thick] (3.6,1.7) -- (4.6,1.7);
  \coordinate (S1) at (5.2,3);
  \coordinate (S2) at (8.2,3);
  \coordinate (S3) at (6.7,0.4);
  \coordinate (SA) at (6.7,2.0);
  \fill (S1) circle [radius=2pt] node[above left] {1};
  \fill (S2) circle [radius=2pt] node[above right] {2};
  \fill (S3) circle [radius=2pt] node[below] {3};
  \fill (SA) circle [radius=2pt] node[above] {$A$};
  \draw (S1) -- (5.65,2.7);
  \draw[rotate around={-33:(6.0,2.45)}] (5.5,2.2) rectangle (6.5,2.7);
  \node[below left] at (6.0,2.3) {$R_1$};
  \draw (6.35,2.2) -- (SA);
  \draw (S2) -- (7.75,2.7);
  \draw[rotate around={33:(7.4,2.45)}] (6.9,2.2) rectangle (7.9,2.7);
  \node[below right] at (7.4,2.3) {$R_2$};
  \draw (7.05,2.2) -- (SA);
  \draw (SA) -- (6.7,1.7);
  \draw (6.45,0.9) rectangle (6.95,1.7);
  \node[right] at (7.0,1.3) {$R_3$};
  \draw (6.7,0.9) -- (S3);
  \node at (5.7,0.8) {$Y$};
\end{tikzpicture}
\end{document}

Формулы перехода от треугольника к эквивалентной звезде ( $Δ \to Y$ ):

$R_{1} = \frac{R _{12} \cdot R _{31}}{R _{12} + R _{23} + R _{31}}$ $R_{2} = \frac{R _{12} \cdot R _{23}}{R _{12} + R _{23} + R _{31}}$ $R_{3} = \frac{R _{23} \cdot R _{31}}{R _{12} + R _{23} + R _{31}}$

Последовательное соединение элементов

Если элементы находятся в одной ветви (то есть по ним протекает один и тот же ток), такие элементы соединены последовательно. $R_{экв} = R_{1} + R_{2} + \dots + R_{n}$ $R_{экв}$ — такое эквивалентное сопротивление, на которое можно заменить весь участок цепи, и ток через источник при этом не изменится.

Параллельное соединение элементов

Если элементы присоединены к двум одинаковым узлам (то есть на них действует одно и то же напряжение), такие элементы соединены параллельно.

Расчёт через проводимость ( $g = \frac{1}{R}$ $[См]$ ): $g_{экв} = g_{1} + g_{2} + \dots + g_{n}$

==II. Свёртывание мостовой схемы после замены $Δ \to Y$ ==

После того как исходный треугольник сопротивлений заменён эквивалентной звездой (с дополнительным узлом $A$ и лучами $R_{12}, R_{13}, R_{23}$ ), схема принимает вид двух параллельных ветвей, подключённых к узлу $A$ :

\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=1.0]
  % --- СХЕМА ПОСЛЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ В ЗВЕЗДУ ---
  % Источник ЭДС E
  \draw (0, 0) -- (0, 1.4);
  \draw (0, 1.75) circle [radius=0.35];
  \draw[->, thick] (0, 1.5) -- (0, 2.0);
  \node[left=3pt] at (-0.35, 1.75) {$E$};
  \draw (0, 2.1) -- (0, 3.5) -- (1.6, 3.5);
 
  % Резистор R12
  \draw[fill=white] (1.6, 3.25) rectangle (2.6, 3.75);
  \node[above=3pt] at (2.1, 3.75) {$R_{12}$};
  \draw (2.6, 3.5) -- (3.3, 3.5);
 
  % Дополнительный узел A
  \fill[red] (3.3, 3.5) circle (2.5pt) node[above=2pt, red] {$A$};
 
  % Разветвление от узла A на две параллельные ветви
  \draw (3.3, 3.5) -- (3.3, 3.0) -- (2.3, 3.0) -- (2.3, 2.7);
  \draw (3.3, 3.0) -- (4.3, 3.0) -- (4.3, 2.7);
 
  % Левая параллельная ветвь: R13 -> узел 2 -> R4
  \draw[fill=white] (2.05, 1.9) rectangle (2.55, 2.7);
  \node[left=3pt] at (2.05, 2.3) {$R_{13}$};
  \draw (2.3, 1.9) -- (2.3, 1.6);
  \fill (2.3, 1.4) circle (2pt) node[left=3pt] {2};
  \draw (2.3, 1.6) -- (2.3, 1.2);
  \draw[fill=white] (2.05, 0.4) rectangle (2.55, 1.2);
  \node[left=3pt] at (2.05, 0.8) {$R_4$};
  \draw (2.3, 0.4) -- (2.3, 0);
 
  % Правая параллельная ветвь: R23 -> узел 3 -> R5
  \draw[fill=white] (4.05, 1.9) rectangle (4.55, 2.7);
  \node[right=3pt] at (4.55, 2.3) {$R_{23}$};
  \draw (4.3, 1.9) -- (4.3, 1.6);
  \fill (4.3, 1.4) circle (2pt) node[right=3pt] {3};
  \draw (4.3, 1.6) -- (4.3, 1.2);
  \draw[fill=white] (4.05, 0.4) rectangle (4.55, 1.2);
  \node[right=3pt] at (4.55, 0.8) {$R_5$};
  \draw (4.3, 0.4) -- (4.3, 0);
 
  % Нижний провод (замыкание цепи)
  \draw (2.3, 0) -- (4.3, 0);
  \draw (2.3, 0) -- (0, 0);
 
  % --- СТРЕЛКА СВЁРТЫВАНИЯ СХЕМЫ ---
  \draw[->, very thick] (5.2, 1.75) -- (6.1, 1.75);
 
  % --- ФИНАЛЬНАЯ ЭКВИВАЛЕНТНАЯ СХЕМА ---
  \begin{scope}[xshift=7.0cm]
    \draw (0, 0) -- (0, 1.4);
    \draw (0, 1.75) circle [radius=0.35];
    \draw[->, thick] (0, 1.5) -- (0, 2.0);
    \node[left=3pt] at (-0.35, 1.75) {$E$};
    \draw (0, 2.1) -- (0, 3.5) -- (1.8, 3.5) -- (1.8, 2.3);
 
    % Эквивалентное сопротивление Rэкв
    \draw[fill=white] (1.5, 1.1) rectangle (2.1, 2.3);
    \node[right=4pt] at (2.1, 1.7) {$R_{eqv}$};
 
    \draw (1.8, 1.1) -- (1.8, 0) -- (0, 0);
  \end{scope}
\end{tikzpicture}
\end{document}

Формула эквивалентного сопротивления цепи:

$R_{экв} = R_{12} + \frac{1}{\frac{1}{R _{13} + R _{4}} + \frac{1}{R _{23} + R _{5}}}$

Закон Ома и эквивалентные сопротивления

Закон Ома для пассивного участка цепи (не содержит источников)

$I = \frac{φ _{1} - φ _{2}}{R} = \frac{U _{12}}{R}$

\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=0.9]
  \draw (0,0) -- (1,0);
  \draw (1,-0.25) rectangle (2.5,0.25);
  \node at (1.75,0) {$R$};
  \draw (2.5,0) -- (3.5,0);
  
  \fill (0,0) circle (2pt) node[left] {1};
  \fill (3.5,0) circle (2pt) node[right] {2};
  
  \draw[->, thick] (0.3,0.35) -- (0.8,0.35) node[above] {$I$};
  \draw[->] (0.5,-0.6) -- (3.0,-0.6) node[midway, below] {$U_{12}$};
\end{tikzpicture}
\end{document}

Закон Ома для активного участка цепи (содержит ЭДС)

$I = \frac{φ _{1} - φ _{2} + \sum E}{R _{1} + R _{2}} = \frac{φ _{1} - φ _{2} + E _{1} - E _{2}}{R _{1} + R _{2}}$

\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=0.9]
  \fill (0,0) circle (2pt) node[left] {1};
  \draw (0,0) -- (0.8,0);
  
  % Резистор R1
  \draw (0.8,-0.25) rectangle (2.0,0.25);
  \node at (1.4,0) {$R_1$};
  \draw (2.0,0) -- (2.55,0);
  
  % Источник E1 (направлен вправо)
  \draw (2.9,0) circle [radius=0.35];
  \draw[->, thick] (2.65,0) -- (3.15,0);
  \node[above] at (2.9,0.4) {$E_1$};
  \draw (3.25,0) -- (3.8,0);
  
  % Резистор R2
  \draw (3.8,-0.25) rectangle (5.0,0.25);
  \node at (4.4,0) {$R_2$};
  \draw (5.0,0) -- (5.55,0);
  
  % Источник E2 (направлен влево)
  \draw (5.9,0) circle [radius=0.35];
  \draw[<-, thick] (5.65,0) -- (6.15,0);
  \node[above] at (5.9,0.4) {$E_2$};
  \draw (6.25,0) -- (7.0,0);
  
  \fill (7.0,0) circle (2pt) node[right] {2};
  
  % Ток и напряжение
  \draw[->, thick] (0.2,0.4) -- (0.6,0.4) node[above] {$I$};
  \draw[->] (0.5,-0.7) -- (6.5,-0.7) node[midway, below] {$U_{12}$};
\end{tikzpicture}
\end{document}

Правило знаков для ЭДС

Если направление стрелки источника ЭДС $E$ совпадает с выбранным направлением тока $I$ , то ЭДС берётся со знаком $(+)$ ; если направлена навстречу току — со знаком $(-)$ .

Закон Ома и эквивалентные сопротивления

Базовые соотношения закона Ома

$I = \frac{U}{R} ⟺ U = I \cdot R ⟺ R = \frac{U}{I}$ Напряжение (разность потенциалов): $U_{12} = φ_{1} - φ_{2} [В]$ .

1. Закон Ома для участка цепи

1) Пассивный участок (ток от узла 1 к узлу 2)

Участок не содержит источников ЭДС. Ток течёт от точки с большим потенциалом $φ_{1}$ к точке с меньшим потенциалом $φ_{2}$ :

\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=1.0]
  \fill (0,0) circle (2pt) node[left=3pt] {1};
  \draw (0,0) -- (1.0,0);
  
  \draw[fill=white] (1.0,-0.25) rectangle (2.2,0.25);
  \node at (1.6,0) {$R$};
  
  \draw (2.2,0) -- (3.2,0);
  \fill (3.2,0) circle (2pt) node[right=3pt] {2};
  
  \draw[->, thick] (0.3,0.35) -- (0.8,0.35) node[midway, above] {$I$};
  \draw[->] (0.5,-0.6) -- (2.7,-0.6) node[midway, below] {$U$};
\end{tikzpicture}
\end{document}

$I = \frac{φ _{1} - φ _{2}}{R} = \frac{U _{12}}{R}$

2) Пассивный участок (ток в обратном направлении — от узла 2 к узлу 1)

Если ток направлен от узла 2 к узлу 1 через последовательно включённые резисторы $R_{1}$ и $R_{2}$ , потенциал $φ_{2} > φ_{1}$ :

\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=1.0]
  \fill (0,0) circle (2pt) node[left=3pt] {1};
  \draw (0,0) -- (0.8,0);
  
  \draw[fill=white] (0.8,-0.25) rectangle (1.8,0.25);
  \node at (1.3,0) {$R_1$};
  \draw (1.8,0) -- (2.6,0);
  
  \draw[fill=white] (2.6,-0.25) rectangle (3.6,0.25);
  \node at (3.1,0) {$R_2$};
  \draw (3.6,0) -- (4.4,0);
  
  \fill (4.4,0) circle (2pt) node[right=3pt] {2};
  
  % Стрелка тока влево (от 2 к 1)
  \draw[<-, thick] (3.8,0.35) -- (4.3,0.35) node[midway, above] {$I$};
  % Стрелка напряжения влево (U21)
  \draw[<-] (0.5,-0.6) -- (3.9,-0.6) node[midway, below] {$U$};
\end{tikzpicture}
\end{document}

$I = \frac{φ _{2} - φ _{1}}{R _{1} + R _{2}} (разность потенциалов берётся в направлении тока)$

3) Параллельный участок цепи

Две параллельные ветви подключены к узлам 1 и 2. Напряжение на обеих ветвях одинаково и равно $U_{12} = φ_{1} - φ_{2}$ :

\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=1.0]
  \draw (0,1.5) -- (0.8,1.5);
  \fill (0.8,1.5) circle (2pt) node[above left] {1};
  
  % Верхняя ветвь (R1)
  \draw (0.8,1.5) -- (0.8,2.2) -- (1.5,2.2);
  \draw[fill=white] (1.5,1.95) rectangle (2.5,2.45);
  \node at (2.0,2.2) {$R_1$};
  \draw (2.5,2.2) -- (3.2,2.2) -- (3.2,1.5);
  \draw[->, thick] (1.0,2.4) -- (1.4,2.4) node[midway, above] {$I_1$};
  
  % Нижняя ветвь (R2)
  \draw (0.8,1.5) -- (0.8,0.8) -- (1.5,0.8);
  \draw[fill=white] (1.5,0.55) rectangle (2.5,1.05);
  \node at (2.0,0.8) {$R_2$};
  \draw (2.5,0.8) -- (3.2,0.8) -- (3.2,1.5);
  \draw[->, thick] (1.0,0.6) -- (1.4,0.6) node[midway, below] {$I_2$};
  
  \fill (3.2,1.5) circle (2pt) node[above right] {2};
  \draw (3.2,1.5) -- (4.0,1.5);
  
  % Стрелка общего напряжения U12
  \draw[->] (1.1,1.5) -- (2.9,1.5) node[midway, below=-1pt] {$U_{12}$};
\end{tikzpicture}
\end{document}

$I_{1} = \frac{U _{12}}{R _{1}}, I_{2} = \frac{U _{12}}{R _{2}}$

4) Активный участок цепи (содержит источники ЭДС)

Участок содержит сопротивления и источники ЭДС. Ток $I$ течёт от узла 1 к узлу 2:

\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=1.0]
  \fill (0,0) circle (2pt) node[left=3pt] {1};
  \draw (0,0) -- (0.6,0);
  
  % R1
  \draw[fill=white] (0.6,-0.25) rectangle (1.6,0.25);
  \node at (1.1,0) {$R_1$};
  \draw (1.6,0) -- (2.15,0);
  
  % E1 (направлен вправо, совпадает с током)
  \draw (2.5,0) circle [radius=0.35];
  \draw[->, thick] (2.25,0) -- (2.75,0);
  \node[above=3pt] at (2.5,0.35) {$E_1$};
  \draw (2.85,0) -- (3.4,0);
  
  % R2
  \draw[fill=white] (3.4,-0.25) rectangle (4.4,0.25);
  \node at (3.9,0) {$R_2$};
  \draw (4.4,0) -- (4.95,0);
  
  % E2 (направлен влево, навстречу току)
  \draw (5.3,0) circle [radius=0.35];
  \draw[<-, thick] (5.05,0) -- (5.55,0);
  \node[above=3pt] at (5.3,0.35) {$E_2$};
  \draw (5.65,0) -- (6.3,0);
  
  \fill (6.3,0) circle (2pt) node[right=3pt] {2};
  
  % Ток и напряжение
  \draw[->, thick] (0.1,0.35) -- (0.5,0.35) node[midway, above] {$I$};
  \draw[->] (0.4,-0.65) -- (5.9,-0.65) node[midway, below] {$U_{12}$};
\end{tikzpicture}
\end{document}

Общая формула: $I = \frac{φ _{1} - φ _{2} + k = 1 \sum n E _{k}}{R _{экв}}$

Для приведённой схемы: $I = \frac{φ _{1} - φ _{2} + E _{1} - E _{2}}{R _{1} + R _{2}}$

Правило знаков для источников ЭДС

Если стрелка ЭДС внутри источника направлена по току $⟹$ ставится знак $(+ E_{1})$ .

Если стрелка ЭДС направлена против тока $⟹$ ставится знак $(- E_{2})$ .

2. Закон Ома для полной (замкнутой) цепи

Цепь содержит источник с ЭДС $E$ и внутренним сопротивлением $r_{0}$ , нагруженный на внешнее сопротивление $R_{н}$ :

\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=1.0]
  % Источник ЭДС E
  \draw (0,0) -- (0,1.9);
  \draw (0,2.25) circle [radius=0.35];
  \draw[->, thick] (0,2.0) -- (0,2.5);
  \node[left=3pt] at (-0.35,2.25) {$E$};
  \draw (0,2.6) -- (0,3.5) -- (3.0,3.5);
  
  % Ток цепи
  \draw[->, thick] (1.2,3.8) -- (1.8,3.8) node[midway, above] {$I$};
  
  % Внутреннее сопротивление r0
  \draw (0,0) -- (0,0.6);
  \draw[fill=white] (-0.25,0.6) rectangle (0.25,1.4);
  \node[left=3pt] at (-0.25,1.0) {$r_0$};
  \draw (0,1.4) -- (0,1.9);
  
  % Нагрузка Rn
  \draw (3.0,3.5) -- (3.0,2.3);
  \draw[fill=white] (2.75,1.1) rectangle (3.25,2.3);
  \node[right=3pt] at (3.25,1.7) {$R_n$};
  \draw (3.0,1.1) -- (3.0,0) -- (0,0);
\end{tikzpicture}
\end{document}

$I = \frac{E}{r _{0} + R _{н}} = \frac{E}{R _{экв}}$

3. Пример расчёта цепи методом свёртывания (эквивалентных преобразований)

Постановка задачи

Дано: параметры источников и резисторов цепи: $E, R_{1}, R_{2}, R_{3}, R_{4}$ .
Найти: токи во всех ветвях цепи: $I_{1}, I_{2}, I_{3} = ?$ .

Параллельный участок между узлами 1 и 2 содержит:

узлов: $у = 2$ ;
ветвей: $в = 3$ .

\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=0.95]
  % --- ИСХОДНАЯ СХЕМА ---
  \draw (0,0) -- (0,1.65);
  \draw (0,2.0) circle [radius=0.35];
  \draw[->, thick] (0,1.75) -- (0,2.25);
  \node[left=3pt] at (-0.35,2.0) {$E$};
  \draw (0,2.35) -- (0,3.5) -- (1.0,3.5);
  
  % Резистор R1
  \draw[fill=white] (1.0,3.25) rectangle (2.0,3.75);
  \node[above=3pt] at (1.5,3.75) {$R_1$};
  \draw (2.0,3.5) -- (3.0,3.5);
  \draw[->, thick] (0.4,3.8) -- (0.8,3.8) node[midway, above] {$I_1$};
  
  % Узлы 1 и 2
  \fill (3.0,3.5) circle (2pt) node[above left] {1};
  \fill (3.0,0) circle (2pt) node[below left] {2};
  \draw (0,0) -- (3.0,0);
  
  % Ветвь с (R2 + R4)
  \draw (3.0,3.5) -- (3.0,2.8) -- (3.6,2.8);
  \draw[fill=white] (3.6,2.55) rectangle (4.4,3.05);
  \node[above=2pt] at (4.0,3.05) {$R_2$};
  \draw (4.4,2.8) -- (4.8,2.8);
  \draw[fill=white] (4.8,2.55) rectangle (5.6,3.05);
  \node[above=2pt] at (5.2,3.05) {$R_4$};
  \draw (5.6,2.8) -- (6.2,2.8) -- (6.2,0);
  \draw[->, thick] (5.8,3.1) -- (6.1,3.1) node[midway, above] {$I_2$};
  
  % Ветвь с R3
  \draw (3.0,3.5) -- (3.0,0.9) -- (4.1,0.9);
  \draw[fill=white] (4.1,0.65) rectangle (5.1,1.15);
  \node[above=2pt] at (4.6,1.15) {$R_3$};
  \draw (5.1,0.9) -- (6.2,0.9);
  \draw[->, thick] (3.3,0.6) -- (3.8,0.6) node[midway, below] {$I_3$};
  \draw (6.2,0) -- (3.0,0);
  
  % Контур R*
  \draw[dashed, red, rounded corners=6pt] (2.7, -0.4) rectangle (6.6, 3.3);
  \node[red, above right] at (6.6, 2.5) {$R^*$};
  
  % Стрелка перехода к эквивалентной схеме
  \draw[->, very thick] (7.1, 1.75) -- (7.9, 1.75);
  
  % --- ЭКВИВАЛЕНТНАЯ СХЕМА С R* ---
  \begin{scope}[xshift=8.5cm]
    \draw (0,0) -- (0,1.65);
    \draw (0,2.0) circle [radius=0.35];
    \draw[->, thick] (0,1.75) -- (0,2.25);
    \node[left=3pt] at (-0.35,2.0) {$E$};
    \draw (0,2.35) -- (0,3.5) -- (0.8,3.5);
    
    % R1
    \draw[fill=white] (0.8,3.25) rectangle (1.8,3.75);
    \node[above=3pt] at (1.3,3.75) {$R_1$};
    \draw (1.8,3.5) -- (2.6,3.5);
    \draw[->, thick] (0.3,3.8) -- (0.7,3.8) node[midway, above] {$I_1$};
    
    \fill (2.6,3.5) circle (2pt) node[above right] {1};
    \fill (2.6,0) circle (2pt) node[below right] {2};
    
    % Блок R*
    \draw (2.6,3.5) -- (2.6,2.4);
    \draw[fill=white] (2.35,1.1) rectangle (2.85,2.4);
    \node[right=3pt] at (2.85,1.75) {$R^*$};
    \draw (2.6,1.1) -- (2.6,0) -- (0,0);
    
    % Напряжение U21
    \draw[->] (2.1,2.8) -- (2.1,0.7) node[midway, left] {$U_{21}$};
  \end{scope}
\end{tikzpicture}
\end{document}

Порядок расчёта:

Эквивалентное сопротивление параллельного блока $R^{*}$ : Ветвь с $(R_{2} + R_{4})$ включена параллельно ветви с $R_{3}$ : $R^{*} = \frac{1}{\frac{1}{R _{2} + R _{4}} + \frac{1}{R _{3}}} = \frac{( R _{2} + R _{4} ) \cdot R _{3}}{( R _{2} + R _{4} ) + R _{3}}$
Полное эквивалентное сопротивление цепи: Резистор $R_{1}$ и блок $R^{*}$ соединены последовательно: $R_{экв} = R_{1} + R^{*}$
Общий ток цепи (ток через источник): $I_{1} = \frac{E}{R _{экв}}$
Межузловое напряжение на параллельном блоке $R^{*}$ : $U_{21} = I_{1} \cdot R^{*}$
Токи в параллельных ветвях: $I_{2} = \frac{U _{21}}{R _{2} + R _{4}}, I_{3} = \frac{U _{21}}{R _{3}}$

Законы Кирхгофа

I Закон Кирхгофа (для узлов)

Первый закон Кирхгофа

В любом узле электрической цепи алгебраическая сумма токов равна нулю: $\sum_{k = 1}^{n} I_{k} = 0$

Ток, направленный к узлу, записывается со знаком $(+)$ .

Ток, направленный от узла, записывается со знаком $(-)$ .

Иными словами: $\sum I_{входящие} = \sum I_{выходящие}$

\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=0.95]
  \fill (0,0) circle (2.5pt) node[below left] {1};
  \draw[<-, thick] (0,0) -- (-1.8,1.2) node[above left] {$I_1$};
  \draw[->, thick] (0,0) -- (1.8,1.2) node[above right] {$I_2$};
  \draw[->, thick] (0,0) -- (1.8,-1.0) node[below right] {$I_3$};
  \draw[->, thick] (0,0) -- (-0.6,-1.5) node[below] {$I_4$};
\end{tikzpicture}
\end{document}

$I_{1} - I_{2} - I_{3} - I_{4} = 0 ⟹ I_{1} = I_{2} + I_{3} + I_{4}$

Число уравнений по I З.К.

$K_{I З . К .} = у - 1$ где $у$ — число узлов в цепи.

II Закон Кирхгофа (для замкнутых контуров)

Второй закон Кирхгофа

В замкнутом контуре электрической цепи алгебраическая сумма падений напряжений равна алгебраической сумме ЭДС в этом же контуре: $\sum_{k = 1}^{n} I_{k} R_{k} = \sum_{k = 1}^{m} E_{k}$

Правило знаков при обходе контура

Если направление тока в ветви совпадает с направлением обхода контура, то падение напряжения $I_{k} R_{k}$ записывается со знаком $(+)$ , если противоположно — со знаком $(-)$ .

ЭДС $E_{k}$ учитывается со знаком $(+)$ , если её направление совпадает с направлением обхода контура, иначе со знаком $(-)$ .

\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=1.05]
  \coordinate (N1) at (0, 3.5);
  \coordinate (N4) at (5.0, 3.5);
  \coordinate (N3) at (5.0, 0);
  \coordinate (N2) at (0, 0);
  \draw (N1) -- (N4);
  \draw (N4) -- (5.0, 2.8);
  \draw[fill=white] (4.75, 2.0) rectangle (5.25, 2.8);
  \node[right=4pt] at (5.25, 2.4) {$R_2$};
  \draw (5.0, 2.0) -- (5.0, 1.35);
  \draw (5.0, 1.0) circle [radius=0.35];
  \draw[->, thick] (5.0, 1.25) -- (5.0, 0.75);
  \node[right=4pt] at (5.35, 1.0) {$E_2$};
  \draw (5.0, 0.65) -- (N3);
  \draw[->, thick] (6.0, 2.7) -- (6.0, 1.8) node[midway, right=2pt] {$I_2$};
  \draw (N3) -- (3.65, 0);
  \draw (3.3, 0) circle [radius=0.35];
  \draw[->, thick] (3.55, 0) -- (3.05, 0);
  \node[above=4pt] at (3.3, 0.35) {$E_3$};
  \draw (2.95, 0) -- (2.2, 0);
  \draw[fill=white] (1.3, -0.25) rectangle (2.2, 0.25);
  \node[above=4pt] at (1.75, 0.25) {$R_3$};
  \draw (1.3, 0) -- (N2);
  \draw[->, thick] (2.9, -0.65) -- (2.0, -0.65) node[midway, below=2pt] {$I_3$};
  \draw (N2) -- (0, 0.65);
  \draw (0, 1.0) circle [radius=0.35];
  \draw[->, thick] (0, 1.25) -- (0, 0.75);
  \node[right=4pt] at (0.35, 1.0) {$E_4$};
  \draw (0, 1.35) -- (0, 2.0);
  \draw[fill=white] (-0.25, 2.0) rectangle (0.25, 2.8);
  \node[right=4pt] at (0.25, 2.4) {$R_4$};
  \draw (0, 2.8) -- (N1);
  \draw[->, thick] (-0.9, 1.8) -- (-0.9, 2.7) node[midway, left=2pt] {$I_4$};
  \draw[->, red, thick] (2.85, 2.05) arc (45:-270:0.5);
  \fill (N1) circle [radius=2pt] node[above left=2pt] {1};
  \fill (N4) circle [radius=2pt] node[above right=2pt] {4};
  \fill (N3) circle [radius=2pt] node[below right=2pt] {3};
  \fill (N2) circle [radius=2pt] node[below left=2pt] {2};
\end{tikzpicture}
\end{document}

Уравнение для данного контура (направление обхода по часовой стрелке): $- I_{4} R_{4} + I_{3} R_{3} - I_{2} R_{2} = E_{3} - E_{4} - E_{2}$

Число уравнений по II З.К.

$K_{II З . К .} = в - в_{J} - (у - 1)$ где:

$в$ — общее число ветвей цепи;

$в_{J}$ — число ветвей с источниками тока;

$у$ — общее число узлов.

Пример расчёта цепи по законам Кирхгофа (Типовой расчёт / ДЗ №1)

Схема электрической цепи

\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=1.0]
  % Координаты узлов схемы
  \coordinate (N1) at (3.0, 5.0);
  \coordinate (N2) at (7.5, 5.0);
  \coordinate (N3) at (10.0, 2.2);
  \coordinate (N4) at (6.0, 0.0);
  \coordinate (N5) at (0.0, 2.2);
 
  % --- Внешний верхний контур (ветвь 1-2 с E1 и R1) ---
  \draw (N1) -- (3.0, 7.2) -- (4.6, 7.2);
  \draw (5.0, 7.2) circle [radius=0.35];
  \draw[->, thick] (4.75, 7.2) -- (5.25, 7.2);
  \node[above=3pt] at (5.0, 7.55) {$E_1$};
  \draw (5.35, 7.2) -- (7.5, 7.2) -- (7.5, 6.4);
  \draw[fill=white] (7.25, 5.6) rectangle (7.75, 6.4);
  \node[right=4pt] at (7.75, 6.0) {$R_1$};
  \draw (7.5, 5.6) -- (N2);
  \draw[->, thick] (3.6, 7.5) -- (4.3, 7.5) node[midway, above=1pt] {$I_1$};
 
  % --- Ветвь 1-2 (с R2) ---
  \draw (N1) -- (4.6, 5.0);
  \draw[fill=white] (4.6, 4.75) rectangle (5.8, 5.25);
  \node[above=3pt] at (5.2, 5.25) {$R_2$};
  \draw (5.8, 5.0) -- (N2);
  \draw[->, thick] (3.6, 4.6) -- (4.3, 4.6) node[midway, below=1pt] {$I_2$};
 
  % --- Ветвь 2-3 (с E3 и R3) ---
  \draw (N2) -- (8.0, 4.1);
  \draw (8.25, 3.8) circle [radius=0.35];
  \draw[->, thick] (8.1, 4.0) -- (8.4, 3.6);
  \node[above right=3pt] at (8.5, 3.9) {$E_3$};
  \draw (8.5, 3.5) -- (8.85, 3.15);
  \draw[fill=white, rotate around={-48:(9.15, 2.85)}] (8.75, 2.65) rectangle (9.55, 3.05);
  \node[above right=3pt] at (9.3, 2.9) {$R_3$};
  \draw (9.45, 2.55) -- (N3);
  \draw[->, thick] (7.4, 4.3) -- (7.8, 3.8) node[midway, below left=1pt] {$I_3$};
 
  % --- Ветвь 3-4 (с R4) ---
  \draw (N3) -- (8.4, 1.35);
  \draw[fill=white, rotate around={29:(7.9, 1.05)}] (7.45, 0.85) rectangle (8.35, 1.25);
  \node[below right=3pt] at (8.0, 0.95) {$R_4$};
  \draw (7.4, 0.75) -- (N4);
  \draw[->, thick] (9.3, 1.5) -- (8.7, 1.15) node[midway, above right=1pt] {$I_4$};
 
  % --- Ветвь 4-1 (с R5) ---
  \draw (N4) -- (4.8, 2.0);
  \draw[fill=white, rotate around={-59:(4.5, 2.5)}] (4.05, 2.3) rectangle (4.95, 2.7);
  \node[above right=2pt] at (4.7, 2.6) {$R_5$};
  \draw (4.2, 3.0) -- (N1);
  \draw[->, thick] (5.4, 1.0) -- (4.95, 1.75) node[midway, below left=1pt] {$I_5$};
 
  % --- Ветвь 1-5 (с R6) ---
  \draw (N1) -- (1.8, 3.9);
  \draw[fill=white, rotate around={43:(1.5, 3.6)}] (1.05, 3.4) rectangle (1.95, 3.8);
  \node[above left=2pt] at (1.4, 3.8) {$R_6$};
  \draw (1.2, 3.3) -- (N5);
  \draw[->, thick] (2.5, 4.8) -- (2.0, 4.3) node[midway, below left=1pt] {$I_6$};
 
  % --- Ветвь 5-4 (с R7) ---
  \draw (N5) -- (2.4, 1.35);
  \draw[fill=white, rotate around={-20:(2.9, 1.15)}] (2.45, 0.95) rectangle (3.35, 1.35);
  \node[below=3pt] at (2.9, 0.95) {$R_7$};
  \draw (3.4, 0.95) -- (N4);
  \draw[->, thick] (1.0, 1.6) -- (1.7, 1.35) node[midway, above=1pt] {$I_7$};
 
  % --- Источник тока Jk1 (между узлами 1 и 5 по внешней дуге) ---
  \draw (N1) to[out=160, in=75] (0.8, 4.6);
  \draw (0.8, 4.6) circle [radius=0.4];
  % Две стрелки вдоль центральной линии внутри круга (от узла 1 к узлу 5)
  \begin{scope}[shift={(0.8, 4.6)}, rotate=220]
    \draw[->, thick] (0, -0.28) -- (0, 0.3);
    \draw[->, thick] (0, -0.28) -- (0, 0.12);
  \end{scope}
  \node[above left=2pt] at (0.8, 5.0) {$J_{k1}$};
  \draw (0.8, 4.6) to[out=255, in=120] (N5);
 
  % --- Источник тока Jk2 (между узлами 1 и 3 по внутренней дуге) ---
  \draw (N1) to[out=-25, in=145] (6.4, 3.4);
  \draw (6.4, 3.4) circle [radius=0.4];
  % Две стрелки вдоль центральной линии внутри круга (от узла 1 к узлу 3)
  \begin{scope}[shift={(6.4, 3.4)}, rotate=-40]
    \draw[->, thick] (0, -0.28) -- (0, 0.3);
    \draw[->, thick] (0, -0.28) -- (0, 0.12);
  \end{scope}
  \node[above right=2pt] at (6.6, 3.7) {$J_{k2}$};
  \draw (6.4, 3.4) to[out=-35, in=170] (N3);
 
  % --- Узлы схемы (поверх линий) ---
  \fill (N1) circle (2.5pt) node[below=3pt] {1};
  \fill (N2) circle (2.5pt) node[below right=2pt] {2};
  \fill (N3) circle (2.5pt) node[right=3pt] {3};
  \fill (N4) circle (2.5pt) node[below=3pt] {4};
  \fill (N5) circle (2.5pt) node[left=3pt] {5};
 
  % --- Контуры (направления обхода) ---
  \draw[->, red, thick] (5.3, 6.2) arc (45:-270:0.35);
  \node[red] at (5.0, 6.2) {I};
 
  \draw[->, red, thick] (6.8, 2.3) arc (45:-270:0.35);
  \node[red] at (6.5, 2.3) {II};
 
  \draw[->, red, thick] (3.0, 2.4) arc (45:-270:0.35);
  \node[red] at (2.7, 2.4) {III};
\end{tikzpicture}
\end{document}

1. Топологический анализ

Число узлов: $у = 5$ (узлы 1, 2, 3, 4, 5).
Число ветвей: $в = 9$ .
Число ветвей с источниками тока: $в_{J} = 2$ (ветви с $J_{k 1}$ и $J_{k 2}$ ).
Число неизвестных токов: $в - в_{J} = 9 - 2 = 7$ (токи $I_{1}, I_{2}, I_{3}, I_{4}, I_{5}, I_{6}, I_{7}$ ).

2. Подсчёт необходимого количества уравнений

По I закону Кирхгофа: $K_{I З . К .} = у - 1 = 5 - 1 = 4 уравнения$
По II закону Кирхгофа: $K_{II З . К .} = в - в_{J} - (у - 1) = 9 - 2 - 5 + 1 = 3 уравнения$
Всего уравнений в системе: $4 + 3 = 7$ .

3. Составление уравнений системы

По I закону Кирхгофа (для узлов 1, 2, 3, 4):

\text{Узел 1:} & I_2 + I_5 - I_6 - J_{k1} - J_{k2} = 0 \\ \text{Узел 2:} & I_1 - I_2 - I_3 = 0 \\ \text{Узел 3:} & I_3 + I_4 + J_{k2} = 0 \\ \text{Узел 4:} & -I_4 - I_5 + I_7 = 0 \end{cases}$$ #### По II закону Кирхгофа (для трёх независимых контуров I, II, III): $$\begin{cases} \text{Контур I:} & I_1 R_1 + I_2 R_2 + I_6 R_6 = E_1 \\ \text{Контур II:} & -I_2 R_2 + I_3 R_3 - I_4 R_4 + I_5 R_5 = E_3 \\ \text{Контур III:} & -I_6 R_6 - I_5 R_5 - I_7 R_7 = 0 \end{cases}$$ --- ### 4. Матричная форма записи системы линейных уравнений $$\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -1 & 0 \\ 1 & -1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & -1 & 0 & 1 \\ R_1 & R_2 & 0 & 0 & 0 & R_6 & 0 \\ 0 & -R_2 & R_3 & -R_4 & R_5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -R_5 & -R_6 & -R_7 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} I_1 \\ I_2 \\ I_3 \\ I_4 \\ I_5 \\ I_6 \\ I_7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} J_{k1} + J_{k2} \\ 0 \\ -J_{k2} \\ 0 \\ E_1 \\ E_3 \\ 0 \end{pmatrix}$$

Uchyoba

Проводник

2.1.2-09.09.2026 Топология электрических цепей

Примеры топологических структур

1. Неразветвлённая цепь

2. Разветвлённая цепь с двумя узлами (3 ветви: $у = 2$ , $в = 3$ )

3. Разветвлённая цепь с двумя узлами (4 ветви: $у = 2$ , $в = 4$ )

Пример: Преобразование «треугольник – звезда» ( $Δ \to Y$ ) в сложной мостовой цепи

I. Изначальная схема

Топологические параметры цепи:

Эквивалентное преобразование «Треугольник $\leftrightarrow$ Звезда» ( $Δ \leftrightarrow Y$ )

Формулы перехода от треугольника к эквивалентной звезде ( $Δ \to Y$ ):

==II. Свёртывание мостовой схемы после замены $Δ \to Y$ ==

Формула эквивалентного сопротивления цепи:

Закон Ома и эквивалентные сопротивления

Закон Ома для пассивного участка цепи (не содержит источников)

Закон Ома для активного участка цепи (содержит ЭДС)

Закон Ома и эквивалентные сопротивления

1. Закон Ома для участка цепи

1) Пассивный участок (ток от узла 1 к узлу 2)

2) Пассивный участок (ток в обратном направлении — от узла 2 к узлу 1)

3) Параллельный участок цепи

4) Активный участок цепи (содержит источники ЭДС)

2. Закон Ома для полной (замкнутой) цепи

3. Пример расчёта цепи методом свёртывания (эквивалентных преобразований)

Порядок расчёта:

Законы Кирхгофа

I Закон Кирхгофа (для узлов)

II Закон Кирхгофа (для замкнутых контуров)

Пример расчёта цепи по законам Кирхгофа (Типовой расчёт / ДЗ №1)

Схема электрической цепи

1. Топологический анализ

2. Подсчёт необходимого количества уравнений

3. Составление уравнений системы

По I закону Кирхгофа (для узлов 1, 2, 3, 4):

Вид графа

Оглавление

Uchyoba

Проводник

2.1.2-09.09.2026 Топология электрических цепей

Примеры топологических структур

1. Неразветвлённая цепь

2. Разветвлённая цепь с двумя узлами (3 ветви: у=2, в=3)

3. Разветвлённая цепь с двумя узлами (4 ветви: у=2, в=4)

Пример: Преобразование «треугольник – звезда» (Δ→Y) в сложной мостовой цепи

I. Изначальная схема

Топологические параметры цепи:

Эквивалентное преобразование «Треугольник ↔ Звезда» (Δ↔Y)

Формулы перехода от треугольника к эквивалентной звезде (Δ→Y):

==II. Свёртывание мостовой схемы после замены Δ→Y==

Формула эквивалентного сопротивления цепи:

Закон Ома и эквивалентные сопротивления

Закон Ома для пассивного участка цепи (не содержит источников)

Закон Ома для активного участка цепи (содержит ЭДС)

Закон Ома и эквивалентные сопротивления

1. Закон Ома для участка цепи

1) Пассивный участок (ток от узла 1 к узлу 2)

2) Пассивный участок (ток в обратном направлении — от узла 2 к узлу 1)

3) Параллельный участок цепи

4) Активный участок цепи (содержит источники ЭДС)

2. Закон Ома для полной (замкнутой) цепи

3. Пример расчёта цепи методом свёртывания (эквивалентных преобразований)

Порядок расчёта:

Законы Кирхгофа

I Закон Кирхгофа (для узлов)

II Закон Кирхгофа (для замкнутых контуров)

Пример расчёта цепи по законам Кирхгофа (Типовой расчёт / ДЗ №1)

Схема электрической цепи

1. Топологический анализ

2. Подсчёт необходимого количества уравнений

3. Составление уравнений системы

По I закону Кирхгофа (для узлов 1, 2, 3, 4):

Вид графа

Оглавление

2. Разветвлённая цепь с двумя узлами (3 ветви: $у = 2$ , $в = 3$ )

3. Разветвлённая цепь с двумя узлами (4 ветви: $у = 2$ , $в = 4$ )

Пример: Преобразование «треугольник – звезда» ( $Δ \to Y$ ) в сложной мостовой цепи

Эквивалентное преобразование «Треугольник $\leftrightarrow$ Звезда» ( $Δ \leftrightarrow Y$ )

Формулы перехода от треугольника к эквивалентной звезде ( $Δ \to Y$ ):

==II. Свёртывание мостовой схемы после замены $Δ \to Y$ ==